随机微分方程

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随机微分方程（Stochastic Differential Equation, SDE）是一类包含随机过程的微分方程，用于描述系统在噪声或随机扰动影响下的动态行为。随机微分方程的形式通常可以表示为：

dXt=μ(Xt,t)dt+σ(Xt,t)dWtdX_t = \mu(X_t, t)dt + \sigma(X_t, t)dW_t

其中：

  • XtX_t 是随时间 tt 变化的随机过程。
  • $\mu(X_t, t) $是漂移系数，决定了系统的确定性趋势。
  • σ(Xt,t)\sigma(X_t, t)是扩散系数，控制了随机扰动的强度。
  • dWtdW_t 是一个标准的维纳过程（Wiener process），也称为布朗运动，表示随机噪声。

随机微分方程在金融、物理、生物等领域中有广泛的应用。例如，布朗运动模型、金融市场中的股价模型（如Black-Scholes模型）等都可以通过随机微分方程来描述。解随机微分方程的主要方法包括伊藤积分和斯特拉托诺维奇积分，分别对应不同的积分定义。

SDE与DDPM

以 DDPM 为例，DDPM的通项公式为
$ x_t \sim \mathcal N(\sqrt{\overline{\alpha}_t}x_0, (1-\overline{\alpha}_t) I)$

当我们固定 t 的取值时， $x_t $是定义在样本空间上的函数，即为一随机变量，当我们固定x xx的随机性时，即为关于变量 t 的一个函数，因此 xtx_t是一随机过程，而对于一组确定的 {xt}t=0T\{x_t\}^T_{t=0}称为随机过程的一个实现，或是一条轨迹/轨道，而随机过程可以使用随机微分方程(Stochastic Differential Equation)进行描述
SDE定义为
dXt=b(t,Xt)dt+σ(t,Xt)dBtdX_t = b(t,X_t)dt + \sigma(t,X_t)dB_t