随机微分方程
随机微分方程
随机微分方程(Stochastic Differential Equation, SDE)是一类包含随机过程的微分方程,用于描述系统在噪声或随机扰动影响下的动态行为。随机微分方程的形式通常可以表示为:
其中:
是随时间 变化的随机过程。 是漂移系数,决定了系统的确定性趋势。 是扩散系数,控制了随机扰动的强度。 是一个标准的维纳过程(Wiener process),也称为布朗运动,表示随机噪声。
随机微分方程在金融、物理、生物等领域中有广泛的应用。例如,布朗运动模型、金融市场中的股价模型(如Black-Scholes模型)等都可以通过随机微分方程来描述。解随机微分方程的主要方法包括伊藤积分和斯特拉托诺维奇积分,分别对应不同的积分定义。
SDE与DDPM
以 DDPM 为例,DDPM的通项公式为
当我们固定 t 的取值时,
SDE定义为
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