局部最佳投影LOP

局部最优投影 LOP

局部最优投影（Locally Optimal Projection, LOP）是一种用于点云重采样和表面重建的经典方法，其核心思想是通过优化策略将输入点云投影到光滑的表面上，从而生成更接近目标表面的点集。LOP 算法被广泛用于计算机图形学和几何处理领域，尤其是在点云表面重建、降噪和采样密度均匀化方面。

主要作用：生成均匀分布的点集，改善点云的质量。去除点云数据中的噪声，生成更光滑的点云表示。为隐式或显式表面重建提供高质量的输入点集。减少点云中的冗余数据，同时保持表面结构和几何细节。使点云分布均匀，避免点云集中在高密度区域。通过局部邻域信息计算全局优化，使点云在保留细节的同时实现全局平滑性。

原论文：Parameterization-free projection for geometry reconstruction | ACM Transactions on Graphics

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核心思想

LOP 的关键在于：

1. 加权投影：通过优化权重函数，将输入点投影到一个光滑的隐式表面上。
2. 局部邻域：以每个点为中心定义邻域，仅使用局部点集信息进行优化。
3. 全局一致性：通过全局优化策略，保证投影点的分布均匀性和表面流形的平滑性。

特性分析

1. 局部邻域权重：
   • 仅利用点云的局部信息，计算效率较高。
   • 对输入点分布不均有一定的鲁棒性。
2. 全局均匀性：
   • 优化后输出点云分布更加均匀，有助于后续几何处理。
3. 无参数化依赖：
   • 不依赖显式网格或表面参数化，可直接处理任意点云。

LOP 算法公式

对于输入点云 $P = \{p_1, p_2, \ldots, p_n\}$，我们通过优化以下公式生成输出点集 $Q = \{q_1, q_2, \ldots, q_m\}$：

$$q = \arg\min_{x \in \mathbb{R}^3} \sum_{p \in P} \omega(p, x) \|x - p\|^2$$

其中：

• $\omega(p, x)$是权重函数，用于控制点 $p$ 对 $x$ 的贡献。
• $\|x - p\|^2$ 是欧几里得距离，用于度量点之间的接近性。

权重函数

权重函数$\omega(p, x)$的设计是 LOP 的核心，通常具有以下特点：

1. 距离依赖性

   ：点的权重通常随距离增大而减小。

   • 常用形式：高斯权重 $\omega(p, x) = e^{-\|p - x\|^2 / h^2}$，其中 hhh 是光滑参数。

2. 邻域限制：只考虑一定半径内的点以提高计算效率。

3. 冲突避免：通过抑制过于密集的点来实现均匀采样。

改进模型

• WLOP（Weighted LOP）： 增加了点间排斥项，用于实现更强的点云均匀性：

  $$E(x) = \sum_{p \in P} \omega(p, x) \|x - p\|^2 - \lambda \sum_{q' \in Q} \phi(q, q'),$$

  其中 $\phi(q, q')$ 是排斥力函数，λ\lambdaλ 是平衡系数。

• 加速策略：

  • 使用 KD-Tree 或八叉树提高邻域搜索效率。
  • 在 GPU 上实现并行计算。

原论文中的图片和原理介绍

LOP 算子有两个直接功能：首先，它可以用作任何其他高阶重建技术（例如 RBF）的预处理阶段。 LOP 可以应用于原始扫描数据以创建干净的数据集，作为有效减少噪声和异常值以及简化局部表面方向和拓扑确定的方法。 其次，它可用于细化给定的数据集。

加权WLOP: