UODF 无符号正交距离场

无符号正交距离场（Unsigned Orthogonal Distance Field, UODF）的基本原理是通过空间中的每个点到目标表面最近点的距离来隐式表示三维模型。这一方法的关键在于准确计算点到表面的正交距离并构建无符号场。

UDF（Unsigned Distance Field，无符号距离场）和 UODF（Unsigned Orthogonal Distance Field，无符号正交距离场）的主要区别在于计算距离时是否考虑点到表面的正交性和距离场的精确性。这两种方法虽然都属于隐式几何表示，但在距离计算方式和应用场景上有所不同。

1.核心区别

2.距离计算方式

UDF：
仅关注空间点 $\mathbf{x}$ 到表面上最近点 $\mathbf{p}$ 的欧几里得距离。最近点可通过以下公式计算：

$$d_{\text{UDF}}(\mathbf{x}) = \min_{\mathbf{p} \in S} \|\mathbf{x} - \mathbf{p}\|$$

不考虑距离是否正交，只需找到最近点即可。

UODF：
不仅关注最近点，还要求最近点的投影必须满足正交性：

$$\mathbf{n} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{p}) = 0$$

其中，$\mathbf{n} $是表面 $\mathbf{p}$ 的法向量。这种正交性约束使得计算结果更符合几何结构的局部特性。

** 正交性条件的具体作用**

（1）最短距离的唯一性

正交性确保找到的最近点是真正意义上的“最近”。没有正交性约束时，可能会出现“非正交”的最近点，例如：

• 对于表面上的边界点或尖锐角，最短距离可能指向某个不符合正交条件的点。
• 正交性条件排除了这些错误的点，确保结果唯一。

（2）表面精确性

正交性约束增强了距离计算的表面精确性，尤其是在曲率较大的区域。例如：

• 对于一个球体表面，空间点到球表面的正交距离总是沿球的半径方向，避免了非正交方向上的误差。

3.特性比较

UDF 特性

• 适合表示简单的几何形状或用于粗略的表面表示。
• 对表面局部几何的精确性较低，可能在高曲率区域或不规则表面上产生偏差。
• 计算效率较高，适合大规模点云或网格数据的快速处理。

UODF 特性

• 对局部几何形状有更高的精确性，尤其在复杂表面或曲率较大的区域表现优异。
• 正交性约束保证了距离计算更符合几何表面的真实特性。
• 计算复杂度较高，需使用更精细的搜索或优化算法。

4.应用场景的差异

5.数学表达的对比

UDF 的距离场

给定一个三维表面 S，UDF 的距离场定义为

$$\text{UDF}(\mathbf{x}) = \min_{\mathbf{p} \in S} \|\mathbf{x} - \mathbf{p}\|$$

UODF 的距离场

在此基础上，UODF 增加了正交性约束：

$$\text{UODF}(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{p}^*\|$$

其中 $\mathbf{p}^* $是满足以下条件的点：

$$\mathbf{p}^* = \arg\min_{\mathbf{p} \in S} \|\mathbf{x} - \mathbf{p}\|, \quad \text{且} \quad \mathbf{n} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{p}) = 0$$

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